九の剰余系

　今日、娘に、かけ算と割り算の簡単な検算方法を教えた。かけ算の場合、掛け合わす二つの数の各位の数を全部足し、足したものがまだ二ケタなら、その各位の数を全部足し、最終的には一桁の数にする。そして、その二つの一桁の数を、掛け合わし、積が二ケタなら、また各位の数を足して、最終的に一桁とする（A）。次に、答えの数の各位の数を全部足し、どうような作業で、一桁とする（B）。AとBが等しければ、計算はあっている。たとえば、12x25=300。この場合、1+2=3と2+5=7の3と7を掛け合わせて21。さらに2+1=3。積の300は3+0+0=3。この二つが同じなので、この計算は正しい。
　たし算の場合は、一桁にした数を掛け合わさないで、足せばよい。たとえば、12+25=37。この場合、左辺は3+7=10で、1+0=1。右辺は3+7=10で、1+0=1。これも同じなので、正解。
　この計算、何をしているかというと、「九の剰余系は和と積において閉じている」ということ。興味がある方は、数学的にやってみて下さい。証明が可能です。とはいえ、三年生の子どもに、九の剰余系など話してもわかる訳ない。