そういえば、数学を考えていた

　先週の月曜日、寝込みながら、いろいろなことを考えていた。そういえば・・・と小学生以来、わたしが使っていた検算法がなぜ検算法なのかを考えていた。
　この検算法、たし算とかけ算に適用でき、当然、引き算と割り算にも応用できる。たとえば、23+79=102の場合。左辺の数字の文字を足すと2+3=5と7+9=16。16の場合は、さらに一の位と十の位を足して、1+6=7。そうすると、23からつくられた5と79からつくられた7を足すと12。これも一の位と十の位を足して、1+2=3。この3が左辺のマジックナンバー。右辺も同様に一の位と十の位と百の位の数字を足して、1+0+2=3。すると、右辺と左辺の数字が一致する。一致しておれば、計算は合っている。
　同じ事がかけ算にも言える。23x79=1817の場合。左辺の数字は2+3=5と7+9=16で1+6=7。すると、この二つをかけて5x7=35。一の位と十の位の数字を足して、3+5=8。これが左辺のマジックナンバー。右辺の場合は1+8+1+7=17。さらに一の位と十の位の数を足して、1+7=8。これで左辺と右辺のマジックナンバーは一致する。一致すれば、計算は合っているはず。
　なぜ、これがうまくいくのか、いろいろと理屈を考えていた。どうも、9による剰余系による検算であることがわかってきた。つまり、9による剰余系は和と積において閉じている、ということからあっているようだ。誰か、理屈をしっかり説明して。